7.3 动态规划算法(Dynamic Programming)

一. 定义

动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法。动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，其适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )。动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解。

二. 应用场景

背包问题：有一个背包，容量为4磅 ， 现有如下物品：

| 物品 | 重量 | 价格 |
| ——– | ——– | ——– |
| 吉他(G) | 1 | 1500 |
| 音响(S) | 4 | 3000 |
| 电脑(L) | 3 | 2000 |

• 要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出背包的容量
• 要求装入的物品不能重复

思路分析：

背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分01背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)这里的问题属于01背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为01背包。

算法的主要思想是利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据w[i]和val[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，设val[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。再令v[i] [j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。

v[i][0]=v[0][j]=0; //表示 填入表 第一行和第一列是0
if(w[i-1]> j) { //当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略
    v[i][j]=v[i-1][j];  //因为我们程序i 是从1开始的，因此原来公式中的 w[i] 修改成 w[i-1]
}else{  //当准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量,
    v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]);
}

//注:
v[i-1][j]： 就是上一个单元格的装入的最大值
v[i] : 表示当前商品的价值 
v[i-1][j-w[i]] ： 装入i-1商品，到剩余空间j-w[i]的最大值

三. 代码实现

/**
 * desc 使用动态规划算法解决背包问题
 * @author GreyPigeon mail:2371849349@qq.com
 * @since 2024-02-14-23:26
 **/
public class KnapsackProblem {
    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        int[] w = {1, 4, 3};//物品的重量
        int[] val = {1500, 3000, 2000}; //物品的价值 这里val[i] 就是前面讲的v[i]
        int m = 4; //背包的容量
        int n = val.length; //物品的个数

        //创建二维数组，
        //v[i][j] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值
        int[][] v = new int[n+1][m+1];
        //为了记录放入商品的情况，我们定一个二维数组
        int[][] path = new int[n+1][m+1];

        //初始化第一行和第一列, 这里在本程序中，可以不去处理，因为默认就是0
        for(int i = 0; i < v.length; i++) {
            v[i][0] = 0; //将第一列设置为0
        }
        for(int i=0; i < v[0].length; i++) {
            v[0][i] = 0; //将第一行设置0
        }

        //根据前面得到公式来动态规划处理
        for(int i = 1; i < v.length; i++) { //不处理第一行 i是从1开始的
            for(int j=1; j < v[0].length; j++) {//不处理第一列, j是从1开始的
                //公式
                if(w[i-1]> j) { // 因为我们程序i 是从1开始的，因此原来公式中的 w[i] 修改成 w[i-1]
                    v[i][j]=v[i-1][j];
                } else {
                    //说明:
                    //因为我们的i 从1开始的， 因此公式需要调整成
                    //v[i][j]=Math.max(v[i-1][j], val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
                    //v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]);
                    //为了记录商品存放到背包的情况，我们不能直接的使用上面的公式，需要使用if-else来体现公式
                    if(v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {
                        v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
                        //把当前的情况记录到path
                        path[i][j] = 1;
                    } else {
                        v[i][j] = v[i - 1][j];
                    }

                }
            }
        }

        //输出一下v 看看目前的情况
        for(int i =0; i < v.length;i++) {
            for(int j = 0; j < v[i].length;j++) {
                System.out.print(v[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }

        System.out.println("============================");
        //输出最后我们是放入的哪些商品
        //遍历path, 这样输出会把所有的放入情况都得到, 其实我们只需要最后的放入
//      for(int i = 0; i < path.length; i++) {
//          for(int j=0; j < path[i].length; j++) {
//              if(path[i][j] == 1) {
//                  System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);
//              }
//          }
//      }

        //逆向遍历
        int i = path.length - 1; //行的最大下标
        int j = path[0].length - 1;  //列的最大下标
        while(i > 0 && j > 0 ) { //从path的最后开始找
            if(path[i][j] == 1) {
                System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);
                j -= w[i-1]; //w[i-1]
            }
            i--;
        }
    }
}