6. 图 | HGHSBlog

# 6. 图 #### 一. 定义图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。结点也可以称为顶点。 #### 二. 图的表示图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）。 \*\*邻接矩阵：\*\*邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于n个顶点的图而言，矩阵是的row和col表示的是1....n个点。 !\[image-20240209114821461\](https://hgh-typora-image.oss-cn-guangzhou.aliyuncs.com/img/image-20240209114821461.png) \*\*邻接表：\*\*邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成。 !\[image-20240209114922115\](https://hgh-typora-image.oss-cn-guangzhou.aliyuncs.com/img/image-20240209114922115.png) #### 三. 图的遍历所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略: 深度优先遍历和广度优先遍历。 \*\*深度优先遍历基本思想\*\* 图的深度优先搜索(Depth First Search) ，深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点，可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。显然，深度优先搜索是一个递归的过程。 \*\*深度优先遍历算法步骤\*\* \* 访问初始结点v，并标记结点v为已访问。 \* 查找结点v的第一个邻接结点w。 \* 若w存在，则继续执行4，如果w不存在，则回到第1步，将从v的下一个结点继续。 \* 若w未被访问，对w进行深度优先遍历递归（即把w当做另一个v，然后进行步骤123）。 \* 查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤3。 \*\*广度优先遍历基本思想\*\* 图的广度优先搜索(Broad First Search) ，类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点 \*\*广度优先遍历算法步骤\*\* \* 访问初始结点v并标记结点v为已访问。 \* 结点v入队列当。 \* 队列非空时，继续执行，否则算法结束。 \* 出队列，取得队头结点u。 \* 查找结点u的第一个邻接结点w。 \* 若结点u的邻接结点w不存在，则转到步骤3；否则循环执行以下三个步骤： \* 若结点w尚未被访问，则访问结点w并标记为已访问。 \* 结点w入队列 \* 查找结点u的继w邻接结点后的下一个邻接结点w，转到步骤6。 #### 四. 代码实现 \`\`\`java /\*\* \* desc 图的创建、遍历（深度优先和广度优先） \* @author GreyPigeon mail:2371849349@qq.com \* @since 2024-02-06-14:28 \*\*/ public class Graph { private ArrayList vertexList; //存储顶点集合 private int\[\]\[\] edges; //存储图对应的邻结矩阵 private int numOfEdges; //表示边的数目 //定义给数组boolean\[\], 记录某个结点是否被访问 private boolean\[\] isVisited; public static void main(String\[\] args) { //测试一把图是否创建ok int n = 8; //结点的个数 //String Vertexs\[\] = {"A", "B", "C", "D", "E"}; String Vertexs\[\] = {"1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8"}; //创建图对象 Graph graph = new Graph(n); //循环的添加顶点 for(String vertex: Vertexs) { graph.insertVertex(vertex); } //添加边 //A-B A-C B-C B-D B-E // graph.insertEdge(0, 1, 1); // A-B // graph.insertEdge(0, 2, 1); // // graph.insertEdge(1, 2, 1); // // graph.insertEdge(1, 3, 1); // // graph.insertEdge(1, 4, 1); // //更新边的关系 graph.insertEdge(0, 1, 1); graph.insertEdge(0, 2, 1); graph.insertEdge(1, 3, 1); graph.insertEdge(1, 4, 1); graph.insertEdge(3, 7, 1); graph.insertEdge(4, 7, 1); graph.insertEdge(2, 5, 1); graph.insertEdge(2, 6, 1); graph.insertEdge(5, 6, 1); //显示一把邻结矩阵 graph.showGraph(); //测试一把，我们的dfs遍历是否ok System.out.println("深度遍历"); graph.dfs(); // A-\>B-\>C-\>D-\>E \[1-\>2-\>4-\>8-\>5-\>3-\>6-\>7\] System.out.println(); System.out.println("广度优先!"); graph.bfs(); // A-\>B-\>C-\>D-E \[1-\>2-\>3-\>4-\>5-\>6-\>7-\>8\] } //构造器 public Graph(int n) { //初始化矩阵和vertexList edges = new int\[n\]\[n\]; vertexList = new ArrayList(n); numOfEdges = 0; } /\*\* \* 得到第一个邻接结点的下标 w \* @param index \* @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1 \*/ public int getFirstNeighbor(int index) { for(int j = 0; j \< vertexList.size(); j++) { if(edges\[index\]\[j\] \> 0) { return j; } } return -1; } //根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点 public int getNextNeighbor(int v1, int v2) { for(int j = v2 + 1; j \< vertexList.size(); j++) { if(edges\[v1\]\[j\] \> 0) { return j; } } return -1; } //深度优先遍历算法 //i 第一次就是 0 private void dfs(boolean\[\] isVisited, int i) { //首先我们访问该结点,输出 System.out.print(getValueByIndex(i) + "-\>"); //将结点设置为已经访问 isVisited\[i\] = true; //查找结点i的第一个邻接结点w int w = getFirstNeighbor(i); while(w != -1) {//说明有 if(!isVisited\[w\]) { dfs(isVisited, w); } //如果w结点已经被访问过 w = getNextNeighbor(i, w); } } //对dfs 进行一个重载, 遍历我们所有的结点，并进行 dfs public void dfs() { isVisited = new boolean\[vertexList.size()\]; //遍历所有的结点，进行dfs\[回溯\] for(int i = 0; i \< getNumOfVertex(); i++) { if(!isVisited\[i\]) { dfs(isVisited, i); } } } //对一个结点进行广度优先遍历的方法 private void bfs(boolean\[\] isVisited, int i) { int u ; // 表示队列的头结点对应下标 int w ; // 邻接结点w //队列，记录结点访问的顺序 LinkedList queue = new LinkedList(); //访问结点，输出结点信息 System.out.print(getValueByIndex(i) + "=\>"); //标记为已访问 isVisited\[i\] = true; //将结点加入队列 queue.addLast(i); while( !queue.isEmpty()) { //取出队列的头结点下标 u = (Integer)queue.removeFirst(); //得到第一个邻接结点的下标 w w = getFirstNeighbor(u); while(w != -1) {//找到 //是否访问过 if(!isVisited\[w\]) { System.out.print(getValueByIndex(w) + "=\>"); //标记已经访问 isVisited\[w\] = true; //入队 queue.addLast(w); } //以u为前驱点，找w后面的下一个邻结点 w = getNextNeighbor(u, w); //体现出我们的广度优先 } } } //遍历所有的结点，都进行广度优先搜索（重载） public void bfs() { isVisited = new boolean\[vertexList.size()\]; for(int i = 0; i \< getNumOfVertex(); i++) { if(!isVisited\[i\]) { bfs(isVisited, i); } } } //图中常用的方法 //返回结点的个数 public int getNumOfVertex() { return vertexList.size(); } //显示图对应的矩阵 public void showGraph() { for(int\[\] link : edges) { System.err.println(Arrays.toString(link)); } } //得到边的数目 public int getNumOfEdges() { return numOfEdges; } //返回结点i(下标)对应的数据 0-\>"A" 1-\>"B" 2-\>"C" public String getValueByIndex(int i) { return vertexList.get(i); } //返回v1和v2的权值 public int getWeight(int v1, int v2) { return edges\[v1\]\[v2\]; } //插入结点 public void insertVertex(String vertex) { vertexList.add(vertex); } /\*\* \* 添加边 \* @param v1 表示点的下标即使第几个顶点 "A"-"B" "A"-\>0 "B"-\>1 \* @param v2 第二个顶点对应的下标 \* @param weight 表示 \*/ public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) { edges\[v1\]\[v2\] = weight; edges\[v2\]\[v1\] = weight; numOfEdges++; } } \`\`\`