7.2 分治算法

一. 定义

分治法(Divide-and-Conquer(P))是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……

分治算法可以求解的一些经典问题：二分搜索、大整数乘法、棋盘覆盖、合并排序、快速排序、线性时间选择、最接近点对问题、循环赛日程表、汉诺塔。

分治法在每一层递归上都有三个步骤：

• 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题
• 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题
• 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

二. 使用分治算法实现汉诺塔问题

汉诺游戏规则如下：

1、有三根相邻的柱子，标号为A,B,C。

2、A柱子上从下到上按金字塔状叠放着n个不同大小的圆盘。

3、现在把所有盘子一个一个移动到柱子B上，并且每次移动同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子上方。

汉诺塔游戏的演示和思路分析:

如果是有一个盘， A->C

如果我们有 n >= 2 情况，我们总是可以看做是两个盘 1.最下边的一个盘 2. 上面的所有盘

• 先把 最上面的盘 从 A->B
• 再把最下边的盘 从 A->C
• 最后把B塔的所有盘 从 B->C

/**
 * desc 分治算法的应用：汉诺塔问题
 * @author GreyPigeon mail:2371849349@qq.com
 * @since 2024-02-06-14:28
 **/
public class Hanoitower {

    public static void main(String[] args) {
        hanoiTower(60, 'A', 'B', 'C');
    }

    //汉诺塔的移动的方法
    //使用分治算法
    public static void hanoiTower(int num, char star, char temp, char end) {
        //如果只有一个盘
        if(num == 1) {
            System.out.println("第1个盘从 " + star + "->" + end);
        } else {
            //如果我们有 n >= 2 情况，我们总是可以看做是两个盘 1.最下边的一个盘 2. 上面的所有盘
            //1. 先把 最上面的所有盘 star->temp， 移动过程会使用到end塔
            hanoiTower(num - 1, star, end, temp);
            //2. 把最下边的盘 star->end
            System.out.println("第" + num + "个盘从 " + star + "->" + end);
            //3. 把B塔的所有盘 从 temp->end , 移动过程使用到star塔
            hanoiTower(num - 1, temp, star, end);
        }
    }
}