2.8 算法复杂度

一. 定义

度量一个程序(算法)执行时间的两种方法:

• 事后统计的方法：这种方法可行, 但是有两个问题：

• 一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，需要实际运行该程序；

• 二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素, 这种方式，要在同一台计算机的相同状态下运行，才能比较那个算法速度更快。

• 事前估算的方法：通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优。

  **算法复杂度**分为时间复杂度和空间复杂度。其作用：时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量；而空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。（算法的复杂性体现在运行该算法时的计算机所需资源的多少上，计算机资源最重要的是时间和空间（即寄存器）资源，因此复杂度分为时间和空间复杂度）。
  

二. 时间频度

​ 一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

特点：随着程序规模的增大，时间频度有以下三个特点：

• 忽略常数项
• 忽略低次项
• 忽略系数 （n^k (k>=3)不适用）

三. 时间复杂度

​ 一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=Ｏ( f(n) )，称Ｏ( f(n) ) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

​ T(n) 不同，但时间复杂度可能相同。 如：T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它们的T(n) 不同，但时间复杂度相同，都为O(n²)。

计算时间复杂度的方法：

• 用常数1代替运行时间中的所有加法常数 T(n)=n²+7n+6 => T(n)=n²+7n+1
• 修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项 T(n)=n²+7n+1 => T(n) = n²
• 去除最高阶项的系数 T(n) = n² => T(n) = n² => O(n²)

四.常见的时间复杂度

• 常数阶O(1)
• 对数阶O(log~2~n)
• 线性阶O(n)
• 线性对数阶O(nlog~2~n)
• 平方阶O(n²)
• 立方阶O(n³)
• k次方阶O(n^k)
• 指数阶O(2ⁿ)

说明：

• 常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log~2~n)＜Ο(n)＜Ο(nlog~2~n)＜Ο(n²)＜Ο(n³)＜ Ο(n^k) ＜Ο(2ⁿ) ，随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。

• 从图中可见，我们应该尽可能避免使用指数阶的算法.

1. 常数阶O(1)

​ 无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是O(1)

int i = 1;
int j = 2;
++i;
j++;
int m = i + j;

​ 上述代码在执行的时候，它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长，那么无论这类代码有多长，即使有几万几十万行，都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。

2. 对数阶O(log~2~n)

​ 在while循环里面，每次都将 i 乘以 2，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了。假设循环x次之后，i 就大于 2 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 x = log2n也就是说当循环 log2n 次以后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为：O(log2n) 。 O(log2n) 的这个2 时间上是根据代码变化的，i = i * 3 ，则是 O(log3n) 。

int i = 1;
while(i < n){
    i = i * 2;
}

3. 线性阶O(n)

for(i = 0; i<= n; ++i){
    j = i;
    j++;
}

​ 这段代码，for循环里面的代码会执行n遍，因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的，因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度。

4. 线性对数阶O(nlog~2~n)

for(i = 0; i<= n; ++i){
    i = 1;
    while(i < n){
        i = i * 2;
    }
}

​ 线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)

5. 平方阶O(n²)

​ 平方阶O(n²) 就更容易理解了，如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²)，这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是 O(nn)，即 O(n²) 如果将其中一层循环的n改成m，那它的时间复杂度就变成了 O(mn)。

for(i = 0; i <= n; ++i){
   for(j = 1; j <= n; I++){
       j = i;
       j++;
   }
}

五. 平均时间复杂度和最坏时间复杂度

​ 平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。

​ 最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。

n: 数据规模k: “桶”的个数；In-place: 不占用额外内存；Out-place: 占用额外内存

六. 空间复杂度

​ 类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数。 空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，它随着n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元，例如快速排序和归并排序算法就属于这种情况。

​ 在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间.