# 5.4 平衡二叉树（balanced binary tree) \> 例：一个二叉排序树，它的左子树全部为空，从形式上看，更像一个单链表。插入速度没有影响，但查询速度明显降低 (因为需要依次比较), 不能发挥BST的优势，因为每次还需要比较左子树，其查询速度比单链表还慢。 \> \> 解决办法：将二叉排序树转平衡二叉树 #### 一. 定义 \*\*平衡二叉树\*\*（balanced binary search tree)，又称\*\*AVL树\*\*（Adelson-Velskii and Landis)，是一种高度平衡的二叉排序树，提高了二叉排序树的查询效率。 一棵平衡二叉树或者是空树，或者是具有下列性质的二叉排序树： \* 左子树与右子树的高度之差的绝对值小于等于１。 \* 左子树和右子树也是平衡二叉排序树。 \*\*平衡因子 BF（Balance Factor）：\*\*左子树和右子树高度差，即左子树高度 - 右子树高度的值 平衡二叉树的常用实现方法有红黑树、AVL、替罪羊树、Treap、伸展树等。 #### 二. 二叉排序树转平衡二叉树 \*\*1.旋转方式及实现：\*\*分为左旋转和右旋转 \`\`\`java //左旋转方法 private void leftRotate() { //创建新的结点，以当前根结点的值 Node newNode = new Node(value); //把新的结点的左子树设置成当前结点的左子树 newNode.left = left; //把新的结点的右子树设置成带你过去结点的右子树的左子树 newNode.right = right.left; //把当前结点的值替换成右子结点的值 value = right.value; //把当前结点的右子树设置成当前结点右子树的右子树 right = right.right; //把当前结点的左子树(左子结点)设置成新的结点 left = newNode; } //右旋转 private void rightRotate() { Node newNode = new Node(value); newNode.right = right; newNode.left = left.right; value = left.value; left = left.left; right = newNode; } \`\`\` \*\*2.「旋转」纠正类型\*\* 1. LL型：右旋转 2. RR型：左旋转 3. LR型：先对子树进行左旋，再对整体进行右旋。 4. RL型：先对子树进行右旋，再对整体进行左旋。 !\[image-20210106115826823\](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/2e5e4517694d59e4a243a1b032d3298f.png) #### 三. 代码实现 \`\`\`java /\*\* \* desc 平衡二叉树的实现（基于二叉排序树的代码实现） \* @author GreyPigeon mail:2371849349@qq.com \* @since 2024-02-05-12:55 \*\*/ public class AVLTreeDemo { public static void main(String\[\] args) { //int\[\] arr = {4,3,6,5,7,8}; //int\[\] arr = { 10, 12, 8, 9, 7, 6 }; int\[\] arr = { 10, 11, 7, 6, 8, 9 }; //创建一个 AVLTree对象 AVLTree avlTree = new AVLTree(); //添加结点 for(int i=0; i \< arr.length; i++) { avlTree.add(new Node(arr\[i\])); } //遍历 System.out.println("中序遍历"); avlTree.infixOrder(); System.out.println("在平衡处理\~\~"); System.out.println("树的高度=" + avlTree.getRoot().height()); //3 System.out.println("树的左子树高度=" + avlTree.getRoot().leftHeight()); // 2 System.out.println("树的右子树高度=" + avlTree.getRoot().rightHeight()); // 2 System.out.println("当前的根结点=" + avlTree.getRoot());//8 } } // 创建AVLTree class AVLTree { private Node root; public Node getRoot() { return root; } // 查找要删除的结点 public Node search(int value) { if (root == null) { return null; } else { return root.search(value); } } // 查找父结点 public Node searchParent(int value) { if (root == null) { return null; } else { return root.searchParent(value); } } // 编写方法: // 1. 返回的 以node 为根结点的二叉排序树的最小结点的值 // 2. 删除node 为根结点的二叉排序树的最小结点 /\*\* \* \* @param node 传入的结点(当做二叉排序树的根结点) \* @return 返回的 以node 为根结点的二叉排序树的最小结点的值 \*/ public int delRightTreeMin(Node node) { Node target = node; // 循环的查找左子节点，就会找到最小值 while (target.left != null) { target = target.left; } // 这时 target就指向了最小结点 // 删除最小结点 delNode(target.value); return target.value; } // 删除结点 public void delNode(int value) { if (root == null) { return; } else { // 1.需求先去找到要删除的结点 targetNode Node targetNode = search(value); // 如果没有找到要删除的结点 if (targetNode == null) { return; } // 如果我们发现当前这颗二叉排序树只有一个结点 if (root.left == null \&\& root.right == null) { root = null; return; } // 去找到targetNode的父结点 Node parent = searchParent(value); // 如果要删除的结点是叶子结点 if (targetNode.left == null \&\& targetNode.right == null) { // 判断targetNode 是父结点的左子结点，还是右子结点 if (parent.left != null \&\& parent.left.value == value) { // 是左子结点 parent.left = null; } else if (parent.right != null \&\& parent.right.value == value) {// 是由子结点 parent.right = null; } } else if (targetNode.left != null \&\& targetNode.right != null) { // 删除有两颗子树的节点 int minVal = delRightTreeMin(targetNode.right); targetNode.value = minVal; } else { // 删除只有一颗子树的结点 // 如果要删除的结点有左子结点 if (targetNode.left != null) { if (parent != null) { // 如果 targetNode 是 parent 的左子结点 if (parent.left.value == value) { parent.left = targetNode.left; } else { // targetNode 是 parent 的右子结点 parent.right = targetNode.left; } } else { root = targetNode.left; } } else { // 如果要删除的结点有右子结点 if (parent != null) { // 如果 targetNode 是 parent 的左子结点 if (parent.left.value == value) { parent.left = targetNode.right; } else { // 如果 targetNode 是 parent 的右子结点 parent.right = targetNode.right; } } else { root = targetNode.right; } } } } } // 添加结点的方法 public void add(Node node) { if (root == null) { root = node;// 如果root为空则直接让root指向node } else { root.add(node); } } // 中序遍历 public void infixOrder() { if (root != null) { root.infixOrder(); } else { System.out.println("二叉排序树为空，不能遍历"); } } } // 创建Node结点 class Node { int value; Node left; Node right; public Node(int value) { this.value = value; } // 返回左子树的高度 public int leftHeight() { if (left == null) { return 0; } return left.height(); } // 返回右子树的高度 public int rightHeight() { if (right == null) { return 0; } return right.height(); } // 返回 以该结点为根结点的树的高度 public int height() { return Math.max(left == null ? 0 : left.height(), right == null ? 0 : right.height()) + 1; } //左旋转方法 private void leftRotate() { //创建新的结点，以当前根结点的值 Node newNode = new Node(value); //把新的结点的左子树设置成当前结点的左子树 newNode.left = left; //把新的结点的右子树设置成带你过去结点的右子树的左子树 newNode.right = right.left; //把当前结点的值替换成右子结点的值 value = right.value; //把当前结点的右子树设置成当前结点右子树的右子树 right = right.right; //把当前结点的左子树(左子结点)设置成新的结点 left = newNode; } //右旋转 private void rightRotate() { Node newNode = new Node(value); newNode.right = right; newNode.left = left.right; value = left.value; left = left.left; right = newNode; } // 查找要删除的结点 /\*\* \* \* @param value 希望删除的结点的值 \* @return 如果找到返回该结点，否则返回null \*/ public Node search(int value) { if (value == this.value) { // 找到就是该结点 return this; } else if (value \< this.value) {// 如果查找的值小于当前结点，向左子树递归查找 // 如果左子结点为空 if (this.left == null) { return null; } return this.left.search(value); } else { // 如果查找的值不小于当前结点，向右子树递归查找 if (this.right == null) { return null; } return this.right.search(value); } } // 查找要删除结点的父结点 /\*\* \* \* @param value 要找到的结点的值 \* @return 返回的是要删除的结点的父结点，如果没有就返回null \*/ public Node searchParent(int value) { // 如果当前结点就是要删除的结点的父结点，就返回 if ((this.left != null \&\& this.left.value == value) \|\| (this.right != null \&\& this.right.value == value)) { return this; } else { // 如果查找的值小于当前结点的值, 并且当前结点的左子结点不为空 if (value \< this.value \&\& this.left != null) { return this.left.searchParent(value); // 向左子树递归查找 } else if (value \>= this.value \&\& this.right != null) { return this.right.searchParent(value); // 向右子树递归查找 } else { return null; // 没有找到父结点 } } } @Override public String toString() { return "Node \[value=" + value + "\]"; } // 添加结点的方法 // 递归的形式添加结点，注意需要满足二叉排序树的要求 public void add(Node node) { if (node == null) { return; } // 判断传入的结点的值，和当前子树的根结点的值关系 if (node.value \< this.value) { // 如果当前结点左子结点为null if (this.left == null) { this.left = node; } else { // 递归的向左子树添加 this.left.add(node); } } else { // 添加的结点的值大于 当前结点的值 if (this.right == null) { this.right = node; } else { // 递归的向右子树添加 this.right.add(node); } } //当添加完一个结点后，如果: (右子树的高度-左子树的高度) \> 1 , 左旋转 if(rightHeight() - leftHeight() \> 1) { //如果它的右子树的左子树的高度大于它的右子树的右子树的高度 if(right != null \&\& right.leftHeight() \> right.rightHeight()) { //先对右子结点进行右旋转 right.rightRotate(); //然后在对当前结点进行左旋转 leftRotate(); //左旋转.. } else { //直接进行左旋转即可 leftRotate(); } return ; //必须要 } //当添加完一个结点后，如果 (左子树的高度 - 右子树的高度) \> 1, 右旋转 if(leftHeight() - rightHeight() \> 1) { //如果它的左子树的右子树高度大于它的左子树的高度 if(left != null \&\& left.rightHeight() \> left.leftHeight()) { //先对当前结点的左结点(左子树)-\>左旋转 left.leftRotate(); //再对当前结点进行右旋转 rightRotate(); } else { //直接进行右旋转即可 rightRotate(); } } } // 中序遍历 public void infixOrder() { if (this.left != null) { this.left.infixOrder(); } System.out.println(this); if (this.right != null) { this.right.infixOrder(); } } } \`\`\`