# 7.3 动态规划算法(Dynamic Programming) #### 一. 定义 动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法。动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，其适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )。动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解。 #### 二. 应用场景 \*\*背包问题：\*\*有一个背包，容量为4磅 ， 现有如下物品： \| \*\*物品\*\* \| \*\*重量\*\* \| \*\*价格\*\* \| \| -------- \| -------- \| -------- \| \| 吉他(G) \| 1 \| 1500 \| \| 音响(S) \| 4 \| 3000 \| \| 电脑(L) \| 3 \| 2000 \| \* 要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出背包的容量 \* 要求装入的物品不能重复 \*\*思路分析：\*\* 背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分01背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)这里的问题属于01背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为01背包。 算法的主要思想是利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据w\[i\]和val\[i\]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，设val\[i\]、w\[i\]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。再令v\[i\] \[j\]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。 \`\`\`java v\[i\]\[0\]=v\[0\]\[j\]=0; //表示 填入表 第一行和第一列是0 if(w\[i-1\]\> j) { //当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略 v\[i\]\[j\]=v\[i-1\]\[j\]; //因为我们程序i 是从1开始的，因此原来公式中的 w\[i\] 修改成 w\[i-1\] }else{ //当准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量, v\[i\]\[j\] = Math.max(v\[i - 1\]\[j\], val\[i - 1\] + v\[i - 1\]\[j - w\[i - 1\]\]); } //注: v\[i-1\]\[j\]： 就是上一个单元格的装入的最大值 v\[i\] : 表示当前商品的价值 v\[i-1\]\[j-w\[i\]\] ： 装入i-1商品，到剩余空间j-w\[i\]的最大值 \`\`\` #### 三. 代码实现 \`\`\`java /\*\* \* desc 使用动态规划算法解决背包问题 \* @author GreyPigeon mail:2371849349@qq.com \* @since 2024-02-14-23:26 \*\*/ public class KnapsackProblem { public static void main(String\[\] args) { // TODO Auto-generated method stub int\[\] w = {1, 4, 3};//物品的重量 int\[\] val = {1500, 3000, 2000}; //物品的价值 这里val\[i\] 就是前面讲的v\[i\] int m = 4; //背包的容量 int n = val.length; //物品的个数 //创建二维数组， //v\[i\]\[j\] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值 int\[\]\[\] v = new int\[n+1\]\[m+1\]; //为了记录放入商品的情况，我们定一个二维数组 int\[\]\[\] path = new int\[n+1\]\[m+1\]; //初始化第一行和第一列, 这里在本程序中，可以不去处理，因为默认就是0 for(int i = 0; i \< v.length; i++) { v\[i\]\[0\] = 0; //将第一列设置为0 } for(int i=0; i \< v\[0\].length; i++) { v\[0\]\[i\] = 0; //将第一行设置0 } //根据前面得到公式来动态规划处理 for(int i = 1; i \< v.length; i++) { //不处理第一行 i是从1开始的 for(int j=1; j \< v\[0\].length; j++) {//不处理第一列, j是从1开始的 //公式 if(w\[i-1\]\> j) { // 因为我们程序i 是从1开始的，因此原来公式中的 w\[i\] 修改成 w\[i-1\] v\[i\]\[j\]=v\[i-1\]\[j\]; } else { //说明: //因为我们的i 从1开始的， 因此公式需要调整成 //v\[i\]\[j\]=Math.max(v\[i-1\]\[j\], val\[i-1\]+v\[i-1\]\[j-w\[i-1\]\]); //v\[i\]\[j\] = Math.max(v\[i - 1\]\[j\], val\[i - 1\] + v\[i - 1\]\[j - w\[i - 1\]\]); //为了记录商品存放到背包的情况，我们不能直接的使用上面的公式，需要使用if-else来体现公式 if(v\[i - 1\]\[j\] \< val\[i - 1\] + v\[i - 1\]\[j - w\[i - 1\]\]) { v\[i\]\[j\] = val\[i - 1\] + v\[i - 1\]\[j - w\[i - 1\]\]; //把当前的情况记录到path path\[i\]\[j\] = 1; } else { v\[i\]\[j\] = v\[i - 1\]\[j\]; } } } } //输出一下v 看看目前的情况 for(int i =0; i \< v.length;i++) { for(int j = 0; j \< v\[i\].length;j++) { System.out.print(v\[i\]\[j\] + " "); } System.out.println(); } System.out.println("============================"); //输出最后我们是放入的哪些商品 //遍历path, 这样输出会把所有的放入情况都得到, 其实我们只需要最后的放入 // for(int i = 0; i \< path.length; i++) { // for(int j=0; j \< path\[i\].length; j++) { // if(path\[i\]\[j\] == 1) { // System.out.printf("第%d个商品放入到背包\\n", i); // } // } // } //逆向遍历 int i = path.length - 1; //行的最大下标 int j = path\[0\].length - 1; //列的最大下标 while(i \> 0 \&\& j \> 0 ) { //从path的最后开始找 if(path\[i\]\[j\] == 1) { System.out.printf("第%d个商品放入到背包\\n", i); j -= w\[i-1\]; //w\[i-1\] } i--; } } } \`\`\`